Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Observe:

Catetos: a e b
Hipotenusa: c











O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”


a² + b² = c²


Exemplo 1
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.












Foi através do Teorema de Pitágoras que os conceitos e as definições de números irracionais começaram a ser introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a surgir foi √2, que apareceu ao ser calculada a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 1. Veja:


















x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
√x² = √2
x = √2

√2 = 1,414213562373....

Exemplo 2
Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:

















x² + 20² = 25²
x² + 400 = 625
x² = 625 – 400
x² = 225
√x² = √225
x = 15



Exemplo 3
Um ciclista acrobático vai atravessar de um prédio a outro com uma bicicleta especial, percorrendo a distância sobre um cabo de aço, como demonstra o esquema a seguir:













Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de aço?








Pelo Teorema de Pitágoras temos:

x² = 10² + 40²
x² = 100 + 1600
x² = 1700
x = 41,23 (aproximadamente)

Semelhança de Triângulo

Temos que dois triângulos são congruentes:
Quando seus elementos (lados e ângulos) determinam a congruência entre os triângulos.
Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos.

Casos de congruência:

1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes.



2º LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes.





3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente.




4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo oposto ao lado.












Através das definições de congruência de triângulos podemos chegar às propriedades geométricas sem a necessidade de efetuar medidas. A esse método damos o nome de demonstração.
Dizemos que em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são congruentes. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

Polígonos semelhantes

Dois polígonos com o mesmo número de lados dizem-se semelhantes quando têm de um para o outro:
ângulos geometricamente iguais;
lados correspondentes proporcionais.
A razão de semelhança de dois polígonos semelhantes é a razão entre dois lados correspondentes:
se a razão é maior que 1, então, estamos perante uma ampliação;
se a razão é menor que 1, então, estamos perante uma redução;
se a razão é igual a 1, então, as figuras são geometricamente iguais.
Exemplo:
Observa, agora, os seguintes rectângulos.

Será que os retângulos são semelhantes?







Polígonos
Um polígono é a porção do plano limitada por uma linha poligonal fechada.
Os elementos de um polígono são:
os lados;
os vértices;
os ângulos.

Aos polígonos em que todos os lados têm o mesmo comprimento e os ângulos a mesma amplitude designamos por polígonos regulares.
Polígonos semelhantes
Dois polígonos com o mesmo número de lados dizem-se semelhantes quando têm de um para o outro:
ângulos geometricamente iguais;
lados correspondentes proporcionais.
A razão de semelhança de dois polígonos semelhantes é a razão entre dois lados correspondentes:
se a razão é maior que 1, então, estamos perante uma ampliação;
se a razão é menor que 1, então, estamos perante uma redução;
se a razão é igual a 1, então, as figuras são geometricamente iguais.
Exemplo:
Observa, agora, os seguintes rectângulos.

Será que os rectângulos são semelhantes?


Como as duas figuras são rectângulos, então, a amplitude todos os ângulos internos é 90º, logo, os ângulos são geometricamente iguais.

, logo, os lados são directamente proporcionais.

Deste modo, podemos afirmar que as duas figuras são semelhantes.
A razão de semelhança é 1,5.


Triângulos semelhantes
Acabamos de aprender que dois polígonos são semelhantes se, de um para o outro, têm:
ângulos geometricamente iguais
lados correspondentes directamente proporcionais.
Para dois triângulos serem semelhantes teremos de verificar todas estas condições?

Para responderes à questão resolve a seguinte ficha de trabalho.

Teorema de Tales no triângulo

O Teorema de Tales possui diversas aplicações no cotidiano, constituindo uma importante ferramenta da Geometria no cálculo de distâncias inacessíveis e nas relações envolvendo semelhança entre triângulos. A melhor forma de visualizar as aplicabilidades do Teorema proposto por Tales de Mileto é através de alguns exemplos.

Exemplo 1

Calcule o comprimento da ponte que deverá ser construída sobre o rio, de acordo com o esquema a seguir.











De acordo com a figura temos um triângulo ABC e o segmento DE dividindo o triângulo, sendo formado o triângulo ADE. As informações que temos são as medidas dos seguintes segmentos: AD = 10m, AE = 9m, EC = 18m e DB = x. O valor de DB será determinado através do Teorema de Tales que diz: “retas paralelas cortadas por transversais formam segmentos proporcionais.” Desse modo, podemos estabelecer a seguinte relação:












Portanto, a ponte terá 20 metros de comprimento.

Exemplo 2

Determine o valor de x na figura.













Exemplo 3

Na figura, as retas r, s e t são paralelas, de acordo com Teorema de Tales determine p valor de x.

Teorema de Tales

Tales de Mileto foi um importante filósofo, astrônomo e matemático grego que viveu antes de Cristo. Ele usou seus conhecimentos sobre Geometria e proporcionalidade para determinar a altura de uma pirâmide. Em seus estudos, Tales observou que os raios solares que chegavam à Terra estavam na posição inclinada e eram paralelos, dessa forma, ele concluiu que havia uma proporcionalidade entre as medidas da sombra e da altura dos objetos, observe a ilustração:


Com base nesse esquema, Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide com base no tamanho da sua sombra. Para tal situação ele procedeu da seguinte forma: fincou uma estaca na areia, mediu as sombras respectivas da pirâmide e da estaca em uma determinada hora do dia e estabeleceu a proporção:



O Teorema de Tales pode ser determinado pela seguinte lei de correspondência:

“Feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas por segmentos transversais formam segmentos de retas proporcionalmente correspondentes”.

Para compreender melhor o teorema observe o esquema representativo a seguir:













Pela proporcionalidade existente no Teorema, temos a seguinte situação:






Exemplo 1
Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir:










AB = 2x – 3
BC = x + 2
A’B’ = 5
B’C’ = 6

Determinando o valor de x: