Soma das raizes de uma equação do 2ºgrau, Produto da raiz de uma equação 2º

Assuntos necessarios:
Equação do 1º e 2º grau, operações com radicais,
formula de Bhaskara e etc.
Soma das raizes de uma equação do 2ºgrau:

X¹+X²= ­­-b+√▲ + -b+√▲

2.a 2.a

X¹+X²= -2b = -b

2a a

Produto da raiz de uma equação 2º:

X¹.X² = -b+√▲ . –b-√▲

2.a 2.a

X¹.X² = (-b)²-(√▲)²

4.a²

X¹.X² = b²-(b².4.a.c)

4.a²

X¹.X² = b².b².4ac b² e cortado com o b²

4.a²

X¹.X² = -4ac -4ª e cortado com o 4.a²

4.a²

X¹.X² = c

a

Logo: X².5X+3=0

S= +5 / P= 3

1 1

Ex: X²+2X+8=0

S= -2 / P= 8

1

Resolva a equação: x2 - 2abx - 3a2b2, sendo x a variável.

Solução

Temos a=1, b = -2ab e c=-3a2b2









Portanto:



Assim, temos: V= { - ab, 3ab}.



RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES

Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a 0 e sejam x'e x'' as raízes reais dessa equação.

Logo:



Observe as seguintes relações:

*

Soma das raízes (S)





*

Produto das raízes (P)



Como ,temos:


Denominamos essas relações de relações de Girard. Verifique alguns exemplos de aplicação dessas relações.

*

Determine a soma e o produto das raízes da equação 10x2 + x - 2 = 0.

Solução

Nesta equação, temos: a=10, b=1 e c=-2.

A soma das raízes é igual a . O produto das raízes é igual a

Assim: Assim:



*

Determine o valor de k na equação x2 + ( 2k - 3)x + 2 = 0, de modo que a soma de suas raízes seja igual a 7.

Solução

Nesta equação, temos: a=1, b=2k e c=2.

S= x1 + x2 = 7

Logo, o valor de k é -2.