quinta-feira, 26 de agosto de 2010
A matemática
A matemática e algo muito importante e nossas vidas e uma coisa essencial em tudo como uma simples compra no supermercado saber quanto de troco você deve receber e entre outras a definição da palavra "matemática" é o conjunto de números que usamos no nosso dia-a-dia e principalmente de regras básicas.
Ponto mínimo e ponto máximo
Toda expressão na forma y = ax² + bx + c ou f(x) = ax² + bx + c com a, b e c números reais, sendo a ≠ 0, é denominada função do 2º grau. A representação gráfica de uma função do 2º grau é dada através de uma parábola, que pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo. Veja:
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Para determinarmos o ponto máximo e o ponto mínimo de uma função do 2º grau basta calcular o vértice da parábola utilizando as seguintes expressões matemáticas:
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O ponto máximo e o ponto mínimo podem ser atribuídos a várias situações presentes em outras ciências, como Física, Biologia, Administração, Contabilidade entre outras.
Física: movimento uniformemente variado, lançamento de projéteis.
Biologia: na análise do processo de fotossíntese.
Administração: Estabelecendo pontos de nivelamento, lucros e prejuízos.
Exemplos
1 – Na função y = x² - 2x +1, temos que a = 1, b = -2 e c = 1. Podemos verificar que
a > 0, então a parábola possui concavidade voltada para cima possuindo ponto mínimo. Vamos calcular as coordenadas do vértice da parábola.
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As coordenadas do vértice são (1, 0).
2 – Dada a função y = -x² -x + 3, temos que a = -1, b = -1 e c = 3. Temos a < 0, então a parábola possui concavidade voltada para baixo tendo um ponto máximo. Os vértices da parábola podem ser calculados da seguinte maneira:
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As coordenadas do vértice são (-0,5; 3,25).
Concluímos que o vértice da parábola deve ser considerado um ponto notável, em razão da sua importância na construção do gráfico de uma função do 2º grau e sua relação com os pontos de valor máximo e mínimo.
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Para determinarmos o ponto máximo e o ponto mínimo de uma função do 2º grau basta calcular o vértice da parábola utilizando as seguintes expressões matemáticas:
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O ponto máximo e o ponto mínimo podem ser atribuídos a várias situações presentes em outras ciências, como Física, Biologia, Administração, Contabilidade entre outras.
Física: movimento uniformemente variado, lançamento de projéteis.
Biologia: na análise do processo de fotossíntese.
Administração: Estabelecendo pontos de nivelamento, lucros e prejuízos.
Exemplos
1 – Na função y = x² - 2x +1, temos que a = 1, b = -2 e c = 1. Podemos verificar que
a > 0, então a parábola possui concavidade voltada para cima possuindo ponto mínimo. Vamos calcular as coordenadas do vértice da parábola.
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As coordenadas do vértice são (1, 0).
2 – Dada a função y = -x² -x + 3, temos que a = -1, b = -1 e c = 3. Temos a < 0, então a parábola possui concavidade voltada para baixo tendo um ponto máximo. Os vértices da parábola podem ser calculados da seguinte maneira:
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As coordenadas do vértice são (-0,5; 3,25).
Concluímos que o vértice da parábola deve ser considerado um ponto notável, em razão da sua importância na construção do gráfico de uma função do 2º grau e sua relação com os pontos de valor máximo e mínimo.
terça-feira, 24 de agosto de 2010
Função do 2ºGrau
A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo:
y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e a≠0
Exemplos:
a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )
b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )
c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )
Gráfico de uma função do 2º grau:
O gráfico de uma função quadrática
é uma parábola
Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente olhando para a montanha russa.
Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:
Exemplo:
Construa o gráfico da função y=x²:
[Sol] Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.
x / y = f(x) = x²
-2 / 4
-1 / 1
0 / 0
1 / 1
2 / 4
3 / 9
Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma distância do eixo de simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outros pontos.
Coordenadas do vértice
A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por
Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3
Temos: a=1, b=-4 e c=3
Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y?
Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y.
Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola
y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2.
y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1
Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)
Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!!
Raízes (ou zeros) da função do 2º grau
Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula.
y=f(x)=0
Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de seus vértices, as raízes da função serão x=1 e x`=3.
Vejamos o gráfico:
Notem que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x.
Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau?
Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção anterior.
Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6:
Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0
Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara.
x²+5x+6=0
Acharemos que x = -2 e x` = -3.
Concavidade da parábola
Explicarei esta parte com um simples desenho.
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a maior que 0 a concavidade e votada para cima e a menor que 0 a concavidade voutada para baixo.
Os desenhos até que ficaram bonitinhos, mas isso não importa neste momento. O que nos importa agora é que quando a>0, a concavidade da parábola está voltada para cima (carinha feliz) e quando a<0, a parábola está voltada para baixo (carinha triste).
Exemplos:
[Nota] Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), o vértice representa o valor máximo.
Quando o discriminante é igual a zero
Quando o valor de ▲=b²-4ac>0 , o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y será igual a zero.
Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1
Gráfico:
Resumindo:
a > 0
▲ = 0
a > 0
▲ > 0
a > 0
▲ < 0
a < 0
▲ = 0
a < 0
▲ > 0
a < 0
▲ < 0
Esboçando o gráfico
Para finalizarmos (ufa!), vamos desenhar o gráfico da função
y=-x²-4x-3
1ª etapa: Raízes ou zeros da função
-x²-4x-3=0
Aplicando a fórmula de Bháskara
x=-1, x`=-3
2ª etapa: Coordenadas do vértice
Coordenada x (=-b/2a): -(-4)/2.(-1)=-2
Coordenada y: Basta substituir o valor de x obtido na função
y = -x²-4x-3 = -(-2)²-4.(-2)-3 = -4+8-3 = 1
Portanto, V=(-2,1)
3ª etapa: Concavidade da parábola
y=-x²-4x-3
Como a=-1<0, a concavidade estará voltada para baixo
Feito isso, vamos esboçar o gráfico:
y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e a≠0
Exemplos:
a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )
b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )
c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )
Gráfico de uma função do 2º grau:
O gráfico de uma função quadrática
é uma parábola
Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente olhando para a montanha russa.
Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:
Exemplo:
Construa o gráfico da função y=x²:
[Sol] Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.
x / y = f(x) = x²
-2 / 4
-1 / 1
0 / 0
1 / 1
2 / 4
3 / 9
Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma distância do eixo de simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outros pontos.
Coordenadas do vértice
A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por
Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3
Temos: a=1, b=-4 e c=3
Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y?
Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y.
Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola
y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2.
y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1
Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)
Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!!
Raízes (ou zeros) da função do 2º grau
Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula.
y=f(x)=0
Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de seus vértices, as raízes da função serão x=1 e x`=3.
Vejamos o gráfico:
Notem que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x.
Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau?
Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção anterior.
Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6:
Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0
Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara.
x²+5x+6=0
Acharemos que x = -2 e x` = -3.
Concavidade da parábola
Explicarei esta parte com um simples desenho.
.gif)
a maior que 0 a concavidade e votada para cima e a menor que 0 a concavidade voutada para baixo.
Os desenhos até que ficaram bonitinhos, mas isso não importa neste momento. O que nos importa agora é que quando a>0, a concavidade da parábola está voltada para cima (carinha feliz) e quando a<0, a parábola está voltada para baixo (carinha triste).
Exemplos:
[Nota] Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), o vértice representa o valor máximo.
Quando o discriminante é igual a zero
Quando o valor de ▲=b²-4ac>0 , o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y será igual a zero.
Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1
Gráfico:
Resumindo:
a > 0
▲ = 0
a > 0
▲ > 0
a > 0
▲ < 0
a < 0
▲ = 0
a < 0
▲ > 0
a < 0
▲ < 0
Esboçando o gráfico
Para finalizarmos (ufa!), vamos desenhar o gráfico da função
y=-x²-4x-3
1ª etapa: Raízes ou zeros da função
-x²-4x-3=0
Aplicando a fórmula de Bháskara
x=-1, x`=-3
2ª etapa: Coordenadas do vértice
Coordenada x (=-b/2a): -(-4)/2.(-1)=-2
Coordenada y: Basta substituir o valor de x obtido na função
y = -x²-4x-3 = -(-2)²-4.(-2)-3 = -4+8-3 = 1
Portanto, V=(-2,1)
3ª etapa: Concavidade da parábola
y=-x²-4x-3
Como a=-1<0, a concavidade estará voltada para baixo
Feito isso, vamos esboçar o gráfico:
quarta-feira, 7 de julho de 2010
Equação Biquadrada
Assuntos necessarios:
Equação do 1º e 2º grau, operações com radicais,e etc
Equação biquadrada é uma equação de quarto grau, que para achar os valores de suas raízes é preciso transformá-la em uma equação de 2º grau.
Essa equação é escrita da seguinte forma geral: ax4 + bx2 + c = 0.
Onde a ≠ 0 e b e c devem assumir valores reais.
Para resolver (encontrarmos as sua raízes) é preciso transformá-las em uma equação do segundo grau. Isso ocorre através de uma transformação e substituição de incógnitas.
Para melhor compreensão, veja no exemplo abaixo como essa transformação acontece e como chegamos às raízes da equação biquadrada.
4x4 – 17x2 + 4 = 0 → equação biquadrada
4(x2)2 – 17x2 + 4 = 0 → também pode ser escrita assim.
Substituindo variáveis: x2 = y, isso significa que onde for x2 iremos colocar y.
4y2 – 17y + 4 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando x’ e x”.
a = 4 b = -17 c = 4
∆ = b2 – 4ac
∆ = (-17)2 – 4 . 4 . 4
∆ = 289 - 64
∆ = 225
x = - b ± √∆
2a
x = -(-17) ± √225
2 . 4
x = 17 ± 15
8
x’ = 17 + 15 = 32 : 8 = 4
8
x” = 17 – 15 = 2 = 1
8 8 4
Essas são as raízes da equação 4y2 – 17y + 4 = 0, para encontrarmos as raízes da equação biquadrada
4x4 – 17x2 + 4 = 0 devemos substituir os valores de x’ e x” em
x2 = y.
Para x = 4
x2 = y
x2 = 4
x = √4
x = ± 4
Para x = 1
4
x2 = y
x2 = 1
4
y = ±1
2
Portanto, a solução da equação biquadrada será:
S = {-2, -1, 1, 2}.
2 2
Equação do 1º e 2º grau, operações com radicais,e etc
Equação biquadrada é uma equação de quarto grau, que para achar os valores de suas raízes é preciso transformá-la em uma equação de 2º grau.
Essa equação é escrita da seguinte forma geral: ax4 + bx2 + c = 0.
Onde a ≠ 0 e b e c devem assumir valores reais.
Para resolver (encontrarmos as sua raízes) é preciso transformá-las em uma equação do segundo grau. Isso ocorre através de uma transformação e substituição de incógnitas.
Para melhor compreensão, veja no exemplo abaixo como essa transformação acontece e como chegamos às raízes da equação biquadrada.
4x4 – 17x2 + 4 = 0 → equação biquadrada
4(x2)2 – 17x2 + 4 = 0 → também pode ser escrita assim.
Substituindo variáveis: x2 = y, isso significa que onde for x2 iremos colocar y.
4y2 – 17y + 4 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando x’ e x”.
a = 4 b = -17 c = 4
∆ = b2 – 4ac
∆ = (-17)2 – 4 . 4 . 4
∆ = 289 - 64
∆ = 225
x = - b ± √∆
2a
x = -(-17) ± √225
2 . 4
x = 17 ± 15
8
x’ = 17 + 15 = 32 : 8 = 4
8
x” = 17 – 15 = 2 = 1
8 8 4
Essas são as raízes da equação 4y2 – 17y + 4 = 0, para encontrarmos as raízes da equação biquadrada
4x4 – 17x2 + 4 = 0 devemos substituir os valores de x’ e x” em
x2 = y.
Para x = 4
x2 = y
x2 = 4
x = √4
x = ± 4
Para x = 1
4
x2 = y
x2 = 1
4
y = ±1
2
Portanto, a solução da equação biquadrada será:
S = {-2, -1, 1, 2}.
2 2
Soma e Produto das raízes de uma equação do 2º grau
Assuntos necessarios:
Equação do 1º e 2º grau, operações com radicais e etc
Na resolução de uma equação do 2º grau temos três possibilidades de resultados, podemos encontrar duas raízes reais diferentes, duas raízes reais iguais ou nenhuma raiz real.
Quando existir raiz real na resolução de equações do 2º grau, podemos fazer relações entre essas raízes, como: soma (x’ + x”) e produto (x’ . x”).
Para provarmos a soma e o produto de duas raízes reais de uma equação do 2º grau devemos partir da sua forma geral:
ax2 + bx + c = 0
Dessa forma geral, podemos encontrar duas raízes reais x’ e x”, utilizando Bháskara.
SOMA
Somando as duas raízes:
x’ + x”
- b - √∆ - b + √∆ → +√∆ e -√∆ cancelam, pois sua soma será zero.
2a
-2b :2
2a :2
-b
a
Portanto, somar as duas raízes de uma equação do segundo grau é o mesmo que:
x’ + x” = -b
a
PRODUTO
Multiplicando as duas raízes:
x’ . x”
Portanto, o produto das duas raízes de uma equação do segundo grau é o mesmo que:
x’ . x” = c
a
Além de utilizarmos a fórmula de Bháskara para encontrarmos o valor de x’ e x”, podemos utilizar o produto e a soma das raízes, veja como:
Dada a equação x2 – 7x + 10 = 0. Para encontrar a soma e o produto de suas raízes não é necessário que saibamos qual é o valor delas, mas devemos retirar da equação os seus coeficientes.
a = 1
b = - 7
c = 10
Chegamos a duas conclusões: a soma dessas raízes será 7 e o produto delas será 10. Por tentativas podemos encontrar números que multiplicados resultem em 10.
5 . 2 = 10
(-5) . (-2) = 10
1 . 10 = 10
(-1) . (-10) = 10
Desses produtos deve-se escolher aquele que se somarmos os seus fatores encontraremos como resultado 7.
5 + 2 = 7
Portanto, x’ = 5 e x” = 2.
Exemplos:
f(x) = x2 - x - 2
Soma=-(-1)/1 = 1 Obs.: Não rateie no sinal de "b"!
Produto = -2/1 = -2
f(x) = 2x2 - 4x - 16
Soma = -(-4)/2 = 2
Produto = -16/2 = -8
f(x) = 2x2 + 8x
Soma = -(8)/2 = -4
Produto = 0/2 = 0
f(x) = 4x2 - 24x + 36
Soma = -(-24)/4 = 6
Produto = 36/4 = 9
f(x) = x2 - 25
Soma = -(0)/1 = 0
Produto = (-25)/1
Equação do 1º e 2º grau, operações com radicais e etc
Na resolução de uma equação do 2º grau temos três possibilidades de resultados, podemos encontrar duas raízes reais diferentes, duas raízes reais iguais ou nenhuma raiz real.
Quando existir raiz real na resolução de equações do 2º grau, podemos fazer relações entre essas raízes, como: soma (x’ + x”) e produto (x’ . x”).
Para provarmos a soma e o produto de duas raízes reais de uma equação do 2º grau devemos partir da sua forma geral:
ax2 + bx + c = 0
Dessa forma geral, podemos encontrar duas raízes reais x’ e x”, utilizando Bháskara.
SOMA
Somando as duas raízes:
x’ + x”
- b - √∆ - b + √∆ → +√∆ e -√∆ cancelam, pois sua soma será zero.
2a
-2b :2
2a :2
-b
a
Portanto, somar as duas raízes de uma equação do segundo grau é o mesmo que:
x’ + x” = -b
a
PRODUTO
Multiplicando as duas raízes:
x’ . x”
Portanto, o produto das duas raízes de uma equação do segundo grau é o mesmo que:
x’ . x” = c
a
Além de utilizarmos a fórmula de Bháskara para encontrarmos o valor de x’ e x”, podemos utilizar o produto e a soma das raízes, veja como:
Dada a equação x2 – 7x + 10 = 0. Para encontrar a soma e o produto de suas raízes não é necessário que saibamos qual é o valor delas, mas devemos retirar da equação os seus coeficientes.
a = 1
b = - 7
c = 10
Chegamos a duas conclusões: a soma dessas raízes será 7 e o produto delas será 10. Por tentativas podemos encontrar números que multiplicados resultem em 10.
5 . 2 = 10
(-5) . (-2) = 10
1 . 10 = 10
(-1) . (-10) = 10
Desses produtos deve-se escolher aquele que se somarmos os seus fatores encontraremos como resultado 7.
5 + 2 = 7
Portanto, x’ = 5 e x” = 2.
Exemplos:
f(x) = x2 - x - 2
Soma=-(-1)/1 = 1 Obs.: Não rateie no sinal de "b"!
Produto = -2/1 = -2
f(x) = 2x2 - 4x - 16
Soma = -(-4)/2 = 2
Produto = -16/2 = -8
f(x) = 2x2 + 8x
Soma = -(8)/2 = -4
Produto = 0/2 = 0
f(x) = 4x2 - 24x + 36
Soma = -(-24)/4 = 6
Produto = 36/4 = 9
f(x) = x2 - 25
Soma = -(0)/1 = 0
Produto = (-25)/1
Equações Irracionais
Resolvendo uma equação irracional
Exemplo 1
1º passo: isolar o radical
2º passo: elevar os dois membros da equação ao quadrado
3º passo: organizar a equação
x2 - 10x +25 – x – 7 = 0
x2 - 11x + 18 = 0
4º passo: resolver a equação x2 - 11x + 18 = 0, aplicando o teorema de Bháskara.
∆ = (-11)2 - 4 * 1 * 18
∆ = 121 - 72
∆ = 49
x’ = (11+7)/2 = 9
x” = (11 – 7)/2 = 2
5º passo: substituir as raízes na equação original e verificar a igualdade.
x = 9
Portanto, 9 não serve.
x = 2
A única solução da equação é 2.
Exercícios Resolvidos
Toda equação que apresenta a variável em um radicando é considerada uma equação irracional. Observe os exemplos:
Respostas dos Exercícios Propostos
01 x = 11 02 x = 2 03 x = 7
04 x = 35 05 x = 8 06 x = 1 ou x = 2
07 x = 2 ou x = 3 08 x = 4 ou x = 5 09 x = 3
10 x = 4 11 x = 4 12 x = 9
13 x = 2 14 x = 1 15 x = 4 ou x = - 4
16 x = 10 17 x = 8 ou x = 1 18 x = 5
19 x = 15 20 x = 24 21 k = 15
22 x = 4 23 x = 5 24 x = 9
25 x = 7 26 x = 7 27 x = 2
28 k = 16 29 a = 2/3 30 x = 5
Exemplo 1
1º passo: isolar o radical
2º passo: elevar os dois membros da equação ao quadrado
3º passo: organizar a equação
x2 - 10x +25 – x – 7 = 0
x2 - 11x + 18 = 0
4º passo: resolver a equação x2 - 11x + 18 = 0, aplicando o teorema de Bháskara.
∆ = (-11)2 - 4 * 1 * 18
∆ = 121 - 72
∆ = 49
x’ = (11+7)/2 = 9
x” = (11 – 7)/2 = 2
5º passo: substituir as raízes na equação original e verificar a igualdade.
x = 9
Portanto, 9 não serve.
x = 2
A única solução da equação é 2.
Exercícios Resolvidos
Toda equação que apresenta a variável em um radicando é considerada uma equação irracional. Observe os exemplos:
Respostas dos Exercícios Propostos
01 x = 11 02 x = 2 03 x = 7
04 x = 35 05 x = 8 06 x = 1 ou x = 2
07 x = 2 ou x = 3 08 x = 4 ou x = 5 09 x = 3
10 x = 4 11 x = 4 12 x = 9
13 x = 2 14 x = 1 15 x = 4 ou x = - 4
16 x = 10 17 x = 8 ou x = 1 18 x = 5
19 x = 15 20 x = 24 21 k = 15
22 x = 4 23 x = 5 24 x = 9
25 x = 7 26 x = 7 27 x = 2
28 k = 16 29 a = 2/3 30 x = 5
Blog de matematica
.Citar 6 exemplos no mínimo de cada assunto do II trimestre e suas respectivas definições.
.Elencaros assuntos pré-requisitos na pagina.
.Mostrar a aplicabilidade dos assuntos no dia a dia.
.Criar um texto citando a importância da matemática na sociedade.
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