A matemática

A matemática e algo muito importante e nossas vidas e uma coisa essencial em tudo como uma simples compra no supermercado saber quanto de troco você deve receber e entre outras a definição da palavra "matemática" é o conjunto de números que usamos no nosso dia-a-dia e principalmente de regras básicas.

Ponto mínimo e ponto máximo

Toda expressão na forma y = ax² + bx + c ou f(x) = ax² + bx + c com a, b e c números reais, sendo a ≠ 0, é denominada função do 2º grau. A representação gráfica de uma função do 2º grau é dada através de uma parábola, que pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo. Veja:





Para determinarmos o ponto máximo e o ponto mínimo de uma função do 2º grau basta calcular o vértice da parábola utilizando as seguintes expressões matemáticas:








O ponto máximo e o ponto mínimo podem ser atribuídos a várias situações presentes em outras ciências, como Física, Biologia, Administração, Contabilidade entre outras.

Física: movimento uniformemente variado, lançamento de projéteis.
Biologia: na análise do processo de fotossíntese.
Administração: Estabelecendo pontos de nivelamento, lucros e prejuízos.

Exemplos

1 – Na função y = x² - 2x +1, temos que a = 1, b = -2 e c = 1. Podemos verificar que
a > 0, então a parábola possui concavidade voltada para cima possuindo ponto mínimo. Vamos calcular as coordenadas do vértice da parábola.














As coordenadas do vértice são (1, 0).

2 – Dada a função y = -x² -x + 3, temos que a = -1, b = -1 e c = 3. Temos a < 0, então a parábola possui concavidade voltada para baixo tendo um ponto máximo. Os vértices da parábola podem ser calculados da seguinte maneira:




























As coordenadas do vértice são (-0,5; 3,25).


Concluímos que o vértice da parábola deve ser considerado um ponto notável, em razão da sua importância na construção do gráfico de uma função do 2º grau e sua relação com os pontos de valor máximo e mínimo.

Função do 2ºGrau

A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo:

y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e a≠0

Exemplos:

a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )

b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )

c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )

Gráfico de uma função do 2º grau:

O gráfico de uma função quadrática
é uma parábola

Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente olhando para a montanha russa.




Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:









Exemplo:

Construa o gráfico da função y=x²:

[Sol] Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.


x / y = f(x) = x²
-2 / 4
-1 / 1
0 / 0
1 / 1
2 / 4
3 / 9

Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma distância do eixo de simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outros pontos.

Coordenadas do vértice

A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por

Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3

Temos: a=1, b=-4 e c=3


Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y?

Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y.

Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola
y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2.

y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1

Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)

Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!!

Raízes (ou zeros) da função do 2º grau

Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula.

y=f(x)=0

Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de seus vértices, as raízes da função serão x=1 e x`=3.

Vejamos o gráfico:



Notem que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x.

Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau?

Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção anterior.

Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6:

Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0

Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara.

x²+5x+6=0



Acharemos que x = -2 e x` = -3.

Concavidade da parábola

Explicarei esta parte com um simples desenho.



a maior que 0 a concavidade e votada para cima e a menor que 0 a concavidade voutada para baixo.
Os desenhos até que ficaram bonitinhos, mas isso não importa neste momento. O que nos importa agora é que quando a>0, a concavidade da parábola está voltada para cima (carinha feliz) e quando a<0, a parábola está voltada para baixo (carinha triste).

Exemplos:




[Nota] Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), o vértice representa o valor máximo.

Quando o discriminante é igual a zero

Quando o valor de ▲=b²-4ac>0 , o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y será igual a zero.

Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1

Gráfico:

Resumindo:

a > 0
▲ = 0



a > 0
▲ > 0




a > 0
▲ < 0




a < 0
▲ = 0



a < 0
▲ > 0



a < 0
▲ < 0

Esboçando o gráfico

Para finalizarmos (ufa!), vamos desenhar o gráfico da função
y=-x²-4x-3

1ª etapa: Raízes ou zeros da função

-x²-4x-3=0
Aplicando a fórmula de Bháskara
x=-1, x`=-3

2ª etapa: Coordenadas do vértice

Coordenada x (=-b/2a): -(-4)/2.(-1)=-2

Coordenada y: Basta substituir o valor de x obtido na função
y = -x²-4x-3 = -(-2)²-4.(-2)-3 = -4+8-3 = 1

Portanto, V=(-2,1)

3ª etapa: Concavidade da parábola

y=-x²-4x-3

Como a=-1<0, a concavidade estará voltada para baixo

Feito isso, vamos esboçar o gráfico: