Assuntos necessarios:
Equação do 1º e 2º grau, operações com radicais,e etc
Equação biquadrada é uma equação de quarto grau, que para achar os valores de suas raízes é preciso transformá-la em uma equação de 2º grau.
Essa equação é escrita da seguinte forma geral: ax4 + bx2 + c = 0.
Onde a ≠ 0 e b e c devem assumir valores reais.
Para resolver (encontrarmos as sua raízes) é preciso transformá-las em uma equação do segundo grau. Isso ocorre através de uma transformação e substituição de incógnitas.
Para melhor compreensão, veja no exemplo abaixo como essa transformação acontece e como chegamos às raízes da equação biquadrada.
4x4 – 17x2 + 4 = 0 → equação biquadrada
4(x2)2 – 17x2 + 4 = 0 → também pode ser escrita assim.
Substituindo variáveis: x2 = y, isso significa que onde for x2 iremos colocar y.
4y2 – 17y + 4 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando x’ e x”.
a = 4 b = -17 c = 4
∆ = b2 – 4ac
∆ = (-17)2 – 4 . 4 . 4
∆ = 289 - 64
∆ = 225
x = - b ± √∆
2a
x = -(-17) ± √225
2 . 4
x = 17 ± 15
8
x’ = 17 + 15 = 32 : 8 = 4
8
x” = 17 – 15 = 2 = 1
8 8 4
Essas são as raízes da equação 4y2 – 17y + 4 = 0, para encontrarmos as raízes da equação biquadrada
4x4 – 17x2 + 4 = 0 devemos substituir os valores de x’ e x” em
x2 = y.
Para x = 4
x2 = y
x2 = 4
x = √4
x = ± 4
Para x = 1
4
x2 = y
x2 = 1
4
y = ±1
2
Portanto, a solução da equação biquadrada será:
S = {-2, -1, 1, 2}.
2 2
Colegio Elizabeth Souza (CES) Alunos: Emanuel e Ana Virginea Serie: 8º(9º ano) Prof:Luciano Reis Disciplina: Matemática
quarta-feira, 7 de julho de 2010
Soma e Produto das raízes de uma equação do 2º grau
Assuntos necessarios:
Equação do 1º e 2º grau, operações com radicais e etc
Na resolução de uma equação do 2º grau temos três possibilidades de resultados, podemos encontrar duas raízes reais diferentes, duas raízes reais iguais ou nenhuma raiz real.
Quando existir raiz real na resolução de equações do 2º grau, podemos fazer relações entre essas raízes, como: soma (x’ + x”) e produto (x’ . x”).
Para provarmos a soma e o produto de duas raízes reais de uma equação do 2º grau devemos partir da sua forma geral:
ax2 + bx + c = 0
Dessa forma geral, podemos encontrar duas raízes reais x’ e x”, utilizando Bháskara.
SOMA
Somando as duas raízes:
x’ + x”
- b - √∆ - b + √∆ → +√∆ e -√∆ cancelam, pois sua soma será zero.
2a
-2b :2
2a :2
-b
a
Portanto, somar as duas raízes de uma equação do segundo grau é o mesmo que:
x’ + x” = -b
a
PRODUTO
Multiplicando as duas raízes:
x’ . x”
Portanto, o produto das duas raízes de uma equação do segundo grau é o mesmo que:
x’ . x” = c
a
Além de utilizarmos a fórmula de Bháskara para encontrarmos o valor de x’ e x”, podemos utilizar o produto e a soma das raízes, veja como:
Dada a equação x2 – 7x + 10 = 0. Para encontrar a soma e o produto de suas raízes não é necessário que saibamos qual é o valor delas, mas devemos retirar da equação os seus coeficientes.
a = 1
b = - 7
c = 10
Chegamos a duas conclusões: a soma dessas raízes será 7 e o produto delas será 10. Por tentativas podemos encontrar números que multiplicados resultem em 10.
5 . 2 = 10
(-5) . (-2) = 10
1 . 10 = 10
(-1) . (-10) = 10
Desses produtos deve-se escolher aquele que se somarmos os seus fatores encontraremos como resultado 7.
5 + 2 = 7
Portanto, x’ = 5 e x” = 2.
Exemplos:
f(x) = x2 - x - 2
Soma=-(-1)/1 = 1 Obs.: Não rateie no sinal de "b"!
Produto = -2/1 = -2
f(x) = 2x2 - 4x - 16
Soma = -(-4)/2 = 2
Produto = -16/2 = -8
f(x) = 2x2 + 8x
Soma = -(8)/2 = -4
Produto = 0/2 = 0
f(x) = 4x2 - 24x + 36
Soma = -(-24)/4 = 6
Produto = 36/4 = 9
f(x) = x2 - 25
Soma = -(0)/1 = 0
Produto = (-25)/1
Equação do 1º e 2º grau, operações com radicais e etc
Na resolução de uma equação do 2º grau temos três possibilidades de resultados, podemos encontrar duas raízes reais diferentes, duas raízes reais iguais ou nenhuma raiz real.
Quando existir raiz real na resolução de equações do 2º grau, podemos fazer relações entre essas raízes, como: soma (x’ + x”) e produto (x’ . x”).
Para provarmos a soma e o produto de duas raízes reais de uma equação do 2º grau devemos partir da sua forma geral:
ax2 + bx + c = 0
Dessa forma geral, podemos encontrar duas raízes reais x’ e x”, utilizando Bháskara.
SOMA
Somando as duas raízes:
x’ + x”
- b - √∆ - b + √∆ → +√∆ e -√∆ cancelam, pois sua soma será zero.
2a
-2b :2
2a :2
-b
a
Portanto, somar as duas raízes de uma equação do segundo grau é o mesmo que:
x’ + x” = -b
a
PRODUTO
Multiplicando as duas raízes:
x’ . x”
Portanto, o produto das duas raízes de uma equação do segundo grau é o mesmo que:
x’ . x” = c
a
Além de utilizarmos a fórmula de Bháskara para encontrarmos o valor de x’ e x”, podemos utilizar o produto e a soma das raízes, veja como:
Dada a equação x2 – 7x + 10 = 0. Para encontrar a soma e o produto de suas raízes não é necessário que saibamos qual é o valor delas, mas devemos retirar da equação os seus coeficientes.
a = 1
b = - 7
c = 10
Chegamos a duas conclusões: a soma dessas raízes será 7 e o produto delas será 10. Por tentativas podemos encontrar números que multiplicados resultem em 10.
5 . 2 = 10
(-5) . (-2) = 10
1 . 10 = 10
(-1) . (-10) = 10
Desses produtos deve-se escolher aquele que se somarmos os seus fatores encontraremos como resultado 7.
5 + 2 = 7
Portanto, x’ = 5 e x” = 2.
Exemplos:
f(x) = x2 - x - 2
Soma=-(-1)/1 = 1 Obs.: Não rateie no sinal de "b"!
Produto = -2/1 = -2
f(x) = 2x2 - 4x - 16
Soma = -(-4)/2 = 2
Produto = -16/2 = -8
f(x) = 2x2 + 8x
Soma = -(8)/2 = -4
Produto = 0/2 = 0
f(x) = 4x2 - 24x + 36
Soma = -(-24)/4 = 6
Produto = 36/4 = 9
f(x) = x2 - 25
Soma = -(0)/1 = 0
Produto = (-25)/1
Equações Irracionais
Resolvendo uma equação irracional
Exemplo 1
1º passo: isolar o radical
2º passo: elevar os dois membros da equação ao quadrado
3º passo: organizar a equação
x2 - 10x +25 – x – 7 = 0
x2 - 11x + 18 = 0
4º passo: resolver a equação x2 - 11x + 18 = 0, aplicando o teorema de Bháskara.
∆ = (-11)2 - 4 * 1 * 18
∆ = 121 - 72
∆ = 49
x’ = (11+7)/2 = 9
x” = (11 – 7)/2 = 2
5º passo: substituir as raízes na equação original e verificar a igualdade.
x = 9
Portanto, 9 não serve.
x = 2
A única solução da equação é 2.
Exercícios Resolvidos

Toda equação que apresenta a variável em um radicando é considerada uma equação irracional. Observe os exemplos:
Respostas dos Exercícios Propostos
01 x = 11 02 x = 2 03 x = 7
04 x = 35 05 x = 8 06 x = 1 ou x = 2
07 x = 2 ou x = 3 08 x = 4 ou x = 5 09 x = 3
10 x = 4 11 x = 4 12 x = 9
13 x = 2 14 x = 1 15 x = 4 ou x = - 4
16 x = 10 17 x = 8 ou x = 1 18 x = 5
19 x = 15 20 x = 24 21 k = 15
22 x = 4 23 x = 5 24 x = 9
25 x = 7 26 x = 7 27 x = 2
28 k = 16 29 a = 2/3 30 x = 5
Exemplo 1
1º passo: isolar o radical
2º passo: elevar os dois membros da equação ao quadrado
3º passo: organizar a equação
x2 - 10x +25 – x – 7 = 0
x2 - 11x + 18 = 0
4º passo: resolver a equação x2 - 11x + 18 = 0, aplicando o teorema de Bháskara.
∆ = (-11)2 - 4 * 1 * 18
∆ = 121 - 72
∆ = 49
x’ = (11+7)/2 = 9
x” = (11 – 7)/2 = 2
5º passo: substituir as raízes na equação original e verificar a igualdade.
x = 9
Portanto, 9 não serve.
x = 2
A única solução da equação é 2.
Exercícios Resolvidos

Toda equação que apresenta a variável em um radicando é considerada uma equação irracional. Observe os exemplos:
Respostas dos Exercícios Propostos
01 x = 11 02 x = 2 03 x = 7
04 x = 35 05 x = 8 06 x = 1 ou x = 2
07 x = 2 ou x = 3 08 x = 4 ou x = 5 09 x = 3
10 x = 4 11 x = 4 12 x = 9
13 x = 2 14 x = 1 15 x = 4 ou x = - 4
16 x = 10 17 x = 8 ou x = 1 18 x = 5
19 x = 15 20 x = 24 21 k = 15
22 x = 4 23 x = 5 24 x = 9
25 x = 7 26 x = 7 27 x = 2
28 k = 16 29 a = 2/3 30 x = 5
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.Citar 6 exemplos no mínimo de cada assunto do II trimestre e suas respectivas definições.
.Elencaros assuntos pré-requisitos na pagina.
.Mostrar a aplicabilidade dos assuntos no dia a dia.
.Criar um texto citando a importância da matemática na sociedade.
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